Wiskunde wordt vaak gezien als een lastig onderwerp, zowel door studenten als volwassenen! Toch vormt dit weinig geliefde onderwerp een fundamenteel onderdeel van je opleiding, en als je het onder de knie krijgt, ben je goed op weg om academisch te slagen!

Zolang je studeert voor bepaalde kwalificaties ontkom je er niet aan dat je wiskundeproblemen moet oplossen: beginnend met de basis van rekenen, en dan verder met het oplossen van vergelijkingen, algebra, meetkunde en breuken!

Later in je studie zullen je wiskundige vaardigheden je in staat stellen een probleemoplossende mentaliteit aan te nemen en je denkvermogen te verbeteren, zodat je slaagt in de taken die je moet afronden, ongeacht of die nu wel of niet rechtstreeks met wiskunde te maken hebben!

Met dit alles in gedachten is het tijd om een van de kernonderwerpen van wiskunde te herontdekken die je steeds weer zult tegenkomen: het oplossen van vergelijkingen!

Met je rekenmachine bij de hand en een beetje doorzettingsvermogen, zul je het einde van dit artikel over het oplossen van een vergelijking halen. Tegen de tijd dat we klaar zijn, zul je onder andere in staat zijn om je volgende wiskundeprobleem met gemak aan te pakken, of het nu gaat om veeltermen, lineaire vergelijkingen, ontbinden in factoren of iets daartussenin!

Wiskunde leren
Maak altijd aantekeningen tijdens de les. | Bron: Pexels
De beste leraren Wiskunde beschikbaar
1e les gratis!
Adam
4,9
4,9 (37 reviews)
Adam
25€
/u
1e les gratis!
Paul
5
5 (21 reviews)
Paul
23€
/u
1e les gratis!
Marvin
5
5 (26 reviews)
Marvin
28€
/u
1e les gratis!
Floor
5
5 (13 reviews)
Floor
20€
/u
1e les gratis!
Fettah
4,7
4,7 (12 reviews)
Fettah
24€
/u
1e les gratis!
Ayoub
4,9
4,9 (18 reviews)
Ayoub
25€
/u
1e les gratis!
Daniel
4,9
4,9 (14 reviews)
Daniel
25€
/u
1e les gratis!
Lisa
4,8
4,8 (12 reviews)
Lisa
18€
/u
1e les gratis!
Adam
4,9
4,9 (37 reviews)
Adam
25€
/u
1e les gratis!
Paul
5
5 (21 reviews)
Paul
23€
/u
1e les gratis!
Marvin
5
5 (26 reviews)
Marvin
28€
/u
1e les gratis!
Floor
5
5 (13 reviews)
Floor
20€
/u
1e les gratis!
Fettah
4,7
4,7 (12 reviews)
Fettah
24€
/u
1e les gratis!
Ayoub
4,9
4,9 (18 reviews)
Ayoub
25€
/u
1e les gratis!
Daniel
4,9
4,9 (14 reviews)
Daniel
25€
/u
1e les gratis!
Lisa
4,8
4,8 (12 reviews)
Lisa
18€
/u
1ste les gratis>

Wat is een vergelijking?

Net als bij andere onderwerpen is het bij het oplossen van stelsels van vergelijkingen en het maken van grafieken belangrijk om de gebruikte terminologie te begrijpen.

Je wiskundeleraar zal je vertellen dat het kennen van de definitie van wiskundige termen essentieel is als je vooruitgang wilt boeken in de wiskunde, en ze hebben geen ongelijk!

Dus, wat is een vergelijking? Volgens het woordenboek, is het dit:

Een gelijkheid waarbij bepaalde variabelen of onbekenden niet zijn opgelost.

Meteen uit de woordenboekdefinitie zijn de termen "variabelen" en "onbekenden" opgedoken, en ze zullen niet verdwijnen totdat we klaar zijn met het oplossen van onze vergelijking! Een variabele is gewoon een mooi woord voor het vervangen van een waarde door een andere: als je ooit algebra hebt gedaan, ben je waarschijnlijk bekend met het gebruik van "x". Dit is je variabele. Een onbekende is meestal een variabele waarvan we de waarde niet kennen. Dit is wat we proberen te weten te komen!

Als dit een beetje technisch voor je lijkt, is hier een definitie die je waarschijnlijk eerder in een klaslokaal zult horen:

Een vergelijking is een gelijkheid die bestaat uit een variabele (vaak 'x' genoemd). Deze variabele moet gevonden worden om te weten hoe het probleem opgelost kan worden.

Je hebt nu dus een praktische kennis van alle concepten die je nodig hebt om te beginnen met het oplossen van vergelijkingen:

  • Een gelijkheid tussen twee algebraïsche uitdrukkingen
  • Een of meer onbekenden om te vinden
  • Een variabele genaamd 'x'
  • Wordt gebruikt om problemen op te lossen

Of je nu kijkt naar een lineaire vergelijking, een kwadratische vergelijking of stelsels van vergelijkingen, je moet dezelfde stappen nemen om te factoriseren, coëfficiënten te verwijderen, en ze op te lossen.

Vaardigheden die nodig zijn om wiskundige vergelijkingen op te lossen

Om een vergelijking met succes op te lossen, zijn er bepaalde vaardigheden die relevant zijn voor je wiskundestudie, evenals de beroemde "probleemoplossende houding" die we tijdens onze academische loopbaan verwerven en die ons helpt om bekwame wiskundigen te worden.

Probleemoplossende houding

Een zekere terughoudendheid ten aanzien van wiskunde is de reden waarom veel studenten en volwassenen het nut van wiskunde in hun dagelijks leven niet inzien en wiskunde uitsluitend als een academisch vak beschouwen.

In werkelijkheid maakt wiskunde een integrerend deel uit van ons dagelijks leven, ook al reken je er zelf zelden mee. Van eten tot een huis kopen, van een bankrekening openen tot studeren: wiskunde is overal in ons leven. Of we nu optellen, vermenigvuldigen, aftrekken of zelfs vergelijkingen oplossen zonder dat we het doorhebben!

Je wiskundeleraar op school (of je privéleraar wiskunde) zal je de vaardigheden bijbrengen die de rest van je leven elke dag van pas zullen komen.

Hier zijn enkele aspecten die essentieel zijn voor het aannemen van deze probleemoplossende houding:

Grondig zijn

Je moet grondig te werk gaan en alle belangrijke stappen doorlopen wanneer je een wiskundig probleem aanpakt, vooral een probleem met vergelijkingen. Wanneer je voor een wiskundig probleem staat, of voor een examen, moet je nauwkeurig zijn en methodisch en logisch te werk gaan.

Heb een goed geheugen

Wiskundigen moeten met hun geheugen werken! Als je regelmatig oefent, zul je in staat zijn het verband te leggen tussen de onderwerpen die je in de les hebt bestudeerd, en de toepassing ervan bij het oplossen van een probleem dat je krijgt aangereikt. Als je verschillende problemen aanpakt, is de kans groter dat je een probleem tegenkomt dat je al eerder hebt gezien, en met je eerdere ervaring zal het veel gemakkelijker op te lossen zijn.

Wees georganiseerd

Om een vergelijking op te lossen, moet je een aantal stappen volgen. Als je georganiseerd bent in je werkomgeving en in je benadering van problemen, kun je elk wiskundeprobleem dat je voorgeschoteld krijgt oplossen zonder in paniek te raken.

Wanneer leren we over wiskundige vergelijkingen?

Tijdens de lagere school leren we tellen, en raken we vertrouwd met wiskunde. We beginnen getallen op te tellen, af te trekken en te vermenigvuldigen: de basisbeginselen van het rekenen. We leren misschien zelfs de basis van grafieken. Deze lessen geven ons een basis in wiskunde, en de vaardigheden die we later nodig zullen hebben om vergelijkingen op te lossen.

Het is meestal in het middelbaar onderwijs dat lineaire vergelijkingen langzaam het leerplan beginnen binnen te sluipen. We leren eenvoudige vergelijkingen op te lossen, meestal met één onbekende. Hier is een voorbeeld van een vergelijking die je rond deze tijd zou kunnen aanpakken:

Hier moet je de onbekende vinden: 'x'.

Later verschijnen er ook breuken en negatieve getallen in vergelijkingen. De vergelijkingen kunnen er nu ongeveer zo uitzien:

Het niveau van de wiskundeproblemen neemt steeds meer toe en je moet complexere vergelijkingen oplossen, waaronder stelsels van vergelijkingen, door gebruik te maken van verschillende technieken: het kwadraat, ontbinden in factoren, substitutie en het vinden van het intercept in grafieken om er maar een paar te noemen! Als je verder studeert in wiskunde, zul je ook onderwerpen als complexe getallen tegenkomen.

Maar er zijn nog meer soorten problemen: als je besluit wiskunde of natuurwetenschappen te gaan studeren aan de universiteit, kom je nog veel moeilijkere problemen tegen!

Soms zul je éénstapsvergelijkingen tegenkomen, en misschien kun je sommige van de onderstaande vergelijkingen zo oplossen, maar vaak zul je lastigere meerstapsvergelijkingen tegenkomen die je kennis van verschillende wiskundige gebieden op de proef stellen. Misschien je kennis van grafische rekenmachines, je kennis van hellingen, of hoe je gelijktijdige vergelijkingen kunt oplossen door eliminatie of substitutie!

Wiskunde bord
Schrijf alle stappen op tijdens het oplossen van een vergelijking. | Bron: Pexels
De beste leraren Wiskunde beschikbaar
1e les gratis!
Adam
4,9
4,9 (37 reviews)
Adam
25€
/u
1e les gratis!
Paul
5
5 (21 reviews)
Paul
23€
/u
1e les gratis!
Marvin
5
5 (26 reviews)
Marvin
28€
/u
1e les gratis!
Floor
5
5 (13 reviews)
Floor
20€
/u
1e les gratis!
Fettah
4,7
4,7 (12 reviews)
Fettah
24€
/u
1e les gratis!
Ayoub
4,9
4,9 (18 reviews)
Ayoub
25€
/u
1e les gratis!
Daniel
4,9
4,9 (14 reviews)
Daniel
25€
/u
1e les gratis!
Lisa
4,8
4,8 (12 reviews)
Lisa
18€
/u
1e les gratis!
Adam
4,9
4,9 (37 reviews)
Adam
25€
/u
1e les gratis!
Paul
5
5 (21 reviews)
Paul
23€
/u
1e les gratis!
Marvin
5
5 (26 reviews)
Marvin
28€
/u
1e les gratis!
Floor
5
5 (13 reviews)
Floor
20€
/u
1e les gratis!
Fettah
4,7
4,7 (12 reviews)
Fettah
24€
/u
1e les gratis!
Ayoub
4,9
4,9 (18 reviews)
Ayoub
25€
/u
1e les gratis!
Daniel
4,9
4,9 (14 reviews)
Daniel
25€
/u
1e les gratis!
Lisa
4,8
4,8 (12 reviews)
Lisa
18€
/u
1ste les gratis>

Een lineaire vergelijking oplossen

Lineaire vergelijkingen zijn waarschijnlijk het eerste type vergelijking dat je tijdens je studie tegenkomt, en zijn meestal het gemakkelijkst op te lossen.

In wezen vereist het oplossen van een lineaire vergelijking alleen de vier soorten berekeningen die we al sinds de lagere school kennen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

Als je een lineaire vergelijking met één onbekende wilt oplossen, is je doel eenvoudig: je moet de waarde van 'x' vinden. Dit wordt meestal "oplossen van 'x'" genoemd in de wiskunde.

Voor een eenvoudige vergelijking kun je de volgende stappen nemen:

- Isoleer de onbekende (meestal 'x') aan één kant van de vergelijking
- Groepeer alle gemeenschappelijke termen
- Deel door zodat alle coëfficiënten van 'x' verwijderd worden
- Geef je oplossing

Om je een voorbeeld te geven, dit zijn de stappen die je zou nemen voor de vergelijking:

Verplaats 'x' naar één kant van de vergelijking:

"x" is geïsoleerd aan één kant van de vergelijking:

We hebben gemeenschappelijke termen gegroepeerd. Dit staat bekend als het verzamelen van gelijksoortige termen:

We hebben de coëfficiënt van 'x' verwijderd door beide zijden door 4 te delen.

Gefeliciteerd! Je hebt nu de vaardigheden om een van de beroemdste lineaire vergelijkingen uit de geschiedenis van de wiskunde op te lossen: het epitaaf van de wiskundige Diophantus van Alexandrië.

Het grafschrift geeft een vergelijking, en de oplossing van deze vergelijking is de leeftijd van Diophantus toen hij stierf. De graftombe dateert uit de 3e eeuw!

Het kunnen oplossen van lineaire vergelijkingen is de hoeksteen van je kennis van vergelijkingen, en je moet het steeds weer oefenen tot je het helemaal onder de knie hebt. Begin er maar aan!

Het oplossen van een gefactoriseerde vergelijking

Gefactoriseerde vergelijkingen zijn een vorm van veeltermvergelijkingen en je zult ze vaak tegenkomen als kwadratische vergelijkingen.

In essentie neemt de vergelijking de vorm aan:

‘x' is altijd de onbekende variabele, terwijl a,b,c, en d getallen zijn die in het probleem worden gegeven. Tijdens je wiskundelessen heeft je leraar je waarschijnlijk iets als het volgende verteld:

Een product van factoren is nul als, en alleen als, ten minste één van de factoren nul is.

Om te controleren of dit waar is, moet je elke vergelijking met een factor 'x' erin oplossen!

We kunnen het niet vaak genoeg herhalen: de beste manier om te leren vergelijkingen op te lossen is door te oefenen!

Hier is een voorbeeld van een vergelijking in factoren, met de oplossing:

De twee factoren komen overeen met de twee uitdrukkingen tussen haakjes. Voor alle duidelijkheid: de "coëfficiënten van 'x'" waarover we het eerder hadden, zijn in dit voorbeeld 3 en 2. Om het op te lossen, moeten we beide sets van haakjes bekijken. We gaan van links naar rechts, en opnieuw lossen we de voor ons onbekende 'x' op:

(want onze vergelijking moet gelijk zijn aan 0 zodat het product van de factoren gelijk is aan 0):

En de andere set haakjes:

(want onze vergelijking moet gelijk zijn aan 0 zodat het product van de factoren gelijk is aan 0):

En het verwijderen van coëfficiënten van 'x':

Omdat er twee factoren zijn, betekent dit dat er twee oplossingen zijn voor 'x'. Dit wordt ook wel een oplossingenverzameling genoemd. We hebben ze net allebei gevonden! ‘x' kan ofwel -4/3 ofwel 5/2 zijn.

Het kunnen oplossen van kwadratische vergelijkingen is essentieel naarmate je verder komt. Als je kwadratische vergelijkingen niet kunt oplossen, zul je moeite hebben met vergelijkingen van hogere orde. Misschien moet je eerst je kennis over het oplossen van lineaire vergelijkingen opfrissen?

Wiskunde student
Maak altijd je huiswerk, zodat je goed voorbereid bent. | Bron: Pexels

Wiskunde vergelijkingen met breuken

We hebben ook een regel voor vergelijkingen met breuken erin! Dit is de regel:

Een breuk is nul als, en alleen als, de teller nul is en de noemer niet nul is.

Je kunt te maken krijgen met een vergelijking in de volgende vorm:

Om een vergelijking als deze op te lossen met een breuk erin, moet je:

- Waarden die de noemer opheffen uitsluiten
- Alles vereenvoudigen zodat het over dezelfde noemer gaat
- Alles aan één kant van de vergelijking zetten, zodat de andere kant gelijk is aan nul
- Los de vergelijking op
- Controleer of de waarden die je hebt geen waarden zijn die de noemer opheffen

Hier is een voorbeeld van het oplossen van een vergelijking met breuken erin. We zullen een techniek gebruiken die kruisproducten heet om de breuken helemaal te verwijderen. We beginnen met deze vergelijking:

Laten we beginnen met de breuken te verwijderen:

Net als in ons voorbeeld van de lineaire vergelijking, heb ik beide kanten met (x+1) vermenigvuldigd. Dat betekent dat ik aan de linkerkant nu vermenigvuldig met (x+1) en dan onmiddellijk deel door (x+1). Net als in ons vorige voorbeeld betekent dit dat ze elkaar opheffen, en dat ik ze helemaal uit de vergelijking kan schrappen:

Zo, het begint er al een stuk beter uit te zien: Ik heb nu een enkele 'x' aan één kant, één breuk verwijderd, en we zijn goed op weg om dit probleem op te lossen. Laten we ook de breuk aan de rechterkant wegwerken, volgens dezelfde methode:

Door de breuk aan de rechterkant te verwijderen, wordt het allemaal veel eenvoudiger:

Nu moeten we onze vergelijking gelijk stellen aan nul. We zouden kunnen delen door (x-1)(x+1), maar dan krijgen we weer een breuk! In plaats daarvan kunnen we de inhoud van elke set haakjes uitzetten. Om dit te doen vermenigvuldigen we alles binnen de haakjes met alles onmiddellijk erbuiten. Dit is gemakkelijk voor links, omdat we alleen met x hoeven te vermenigvuldigen:

Wordt:

Omdat beide uitdrukkingen equivalent zijn (als gelijkheden zijn ze gelijk), hoeven we de rechterkant niet te veranderen, want we hebben alleen links herschreven: het betekent nog steeds hetzelfde.

De rechterkant is een beetje lastiger, maar volgt hetzelfde principe. De inhoud van elke set haakjes moet vermenigvuldigd worden met de inhoud van de andere set haakjes. Hier is een schema:

De rode lijnen tonen ons dat we 'x' vermenigvuldigen vanaf de eerste haakjes, en de blauwe lijnen tonen ons dat we '-1' vermenigvuldigen vanaf de eerste haakjes.

Dan krijgen we het volgende, te beginnen met de 'x' in het eerste haakje:

En nu vermenigvuldigen met '-1' in het eerste haakje:

Dat zijn dus alle termen van de haakjes aan de rechterkant. Nu kunnen we die combineren tot één uitdrukking, die de rechterkant van de oorspronkelijke vergelijking voorstelt:

Laten we deze twee uitdrukkingen weer in onze oorspronkelijke vergelijking plaatsen:

Dit is weer precies hetzelfde als waar we mee begonnen, we hebben alleen de haakjes met factoren verwijderd. Vervolgens zetten we alles met een x of x^2 aan de linkerkant van de vergelijking:

En verzamel gelijksoortige termen. In de vergelijking hierboven heb ik aan de linkerkant hetzelfde gedaan als aan de rechterkant van de vergelijking, dus we ruimen alles op:

De laatste stap zou dus vrij eenvoudig moeten zijn. We moeten onze coëfficiënt van 'x' verwijderen:

-1/2 is geen verboden waarde, dus de oplossing is x = -1/2. Merk op dat ondanks dat dit begint als een kwadratische vergelijking (omdat er een exponent van twee zit op sommige van de 'x' termen), ze elkaar opheffen, zodat we maar één oplossing hebben.

Het is mogelijk om een vergelijking te hebben zonder oplossing!

Een breukvergelijking kan dezelfde concepten bevatten als die we eerder hebben genoemd, waaronder: kwadratische vergelijkingen, exponenten, rationale en irrationele getallen.

Wiskunde leraar
Hulp van een privédocent kan erg handig zijn. | Bron: Pexels

Vergelijkingen maken om problemen op te lossen

Soms wordt je gevraagd om een vergelijking te maken voor een bepaald probleem. Maak je geen zorgen, dit is niet zo erg als het klinkt, je maakt in wezen je eigen woordproblemen!

De methode is eenvoudig, en je moet alleen zorgen dat je grondig te werk gaat om ervoor te zorgen dat je het juiste antwoord krijgt:

  • Lees het probleem meerdere keren om er zeker van te zijn dat je het begrijpt
  • Bepaal de onbekende (of onbekenden) die overeenkomen met een getal dat in de vraag wordt gevraagd
  • Probeer het probleem in wiskundige termen te herschrijven en verwijder alle overbodige informatie
  • Los de vergelijking die je net gevonden hebt op
  • Controleer of de oplossing juist is
  • Noem je vergelijking als oplossing van het probleem

Soms krijg je een vraag als deze in de context van een meetkundig probleem. Maak je geen zorgen, de stappen zijn hetzelfde, zorg er alleen voor dat je je meetkundelessen van tevoren hebt bijgespijkerd!

Hier is een voorbeeld van een vraag die je kan worden gesteld, waarbij je een vergelijking moet vormen op basis van het gegeven scenario:

"Drie neven, John, Tim en Sally, zijn samen 60 jaar oud. Wat is de leeftijd van elke persoon, wetende dat Sally drie keer zo oud is als Tim, en dat John 10 jaar jonger is dan Sally?"

In dit probleem zijn de onbekenden die je moet vinden de leeftijden van de drie neven en nichten, en dat kan met behulp van enkele vergelijkingen. Kijk of je het kunt oplossen!

Er zijn verschillende mogelijkheden als je je wiskundige vaardigheden wilt verbeteren of perfectioneren: of je nu je kennis van vergelijkingen wilt opfrissen of iets nieuws wilt leren over meetkunde!

Alle voorbeelden die we vandaag hebben bekeken, hadden betrekking op rationale getallen en ongelijkheden kwamen er niet in voor. Ongelijkheden worden echter op dezelfde manier opgelost, door simpelweg het gelijkheidsteken te vervangen door een gelijkheidsteken naar keuze.

Waarom zijn vergelijkingen en ongelijkheden belangrijk? Ze dienen als de bouwstenen van je wiskundekennis, en zijn essentieel als je begint met het bestuderen van calculus, en misschien zelfs matrices!

Als je weet dat je effectief kunt omgaan met problemen met gehele getallen, decimalen, rationale getallen en verschillende soorten vergelijkingen: of het nu exponentiële vergelijkingen zijn, het oplossen van kwadratische vergelijkingen of stelsels van lineaire vergelijkingen, zal dat van onschatbare waarde zijn als je verder komt in de wereld van de wiskunde!

Privéles van een wiskundeleraar aan huis zal je in staat stellen vooruitgang te boeken. Hij of zij kan lastige onderwerpen zoals vergelijkingen in je eigen tempo uitleggen, met methoden die op jouw leerstijl zijn afgestemd.

Regelmatig herhalen en het maken van samenvattingen, het gebruik van Youtube om online wiskunde te leren, in combinatie met privéles wiskunde, zal je helpen het beste uit je wiskunde te halen!

Leer hoe je functies in een grafiek kan tekenen, of ontdek de lijst met onopgeloste wiskundevergelijkingen.

Heb je een leraar Wiskunde nodig?

Vond je dit artikel leuk?

5,00/5 - 1 reviews
Laden...

Bart