Ik vraag mij wel eens af wie de eerste persoon was die naar de lengte van een steen keek en de heilige mogelijkheden ervan zag, als gereedschap, als wapen; iets dat tot andere nuttige dingen gemaakt kon worden. Hij had een belangrijk punt! Zij bekeken dingen vanuit een andere hoek.

Hoe moet iemands geest werken om iets zo gewoon, zo alledaags te gaan bekijken en er eindeloze gebruiksmogelijkheden in te zien? Hiervoor moet je veel gaan oefenen.

Hetzelfde geldt voor het herkennen van vormen zoals een kubus of driehoek, wellicht in steeds terugkerende patronen en de lengte, en zich erop toeleggen om ze te bestuderen.

De kubus, driehoek, vierkanten en parallellogrammen komen weliswaar niet algemeen voor in de heilige natuur; als er al een geometrische vorm gangbaar zou zijn, dan zou het wel de cirkel of misschien een bol zijn.

Maar honingraten en vliegenogen zijn voortdurend herhalende zeshoeken.

Vraag je je bij die gedachte niet af hoe vierhoeken en veelhoeken als geometrische basisvormen universeel aanvaard zijn geworden? Zie het beter als een goede uitdaging!

Vandaag behandelt Superprof de geometrie vanaf het begin tot nu. Een discipline die zo fundamenteel is voor onze manier van leven dat we niet zonder kunnen.

Ontdek hier de beste wiskunde docenten bij jou in de buurt waarmee je kan gaan oefenen.

Getallen Wiskunde
Onderwijs meetkunde aan je kinderen zodat ze later een voorsprong hebben. | Bron: Pexels
De beste leraren Wiskunde beschikbaar
1e les gratis!
Adam
4,9
4,9 (37 reviews)
Adam
25€
/u
1e les gratis!
Paul
5
5 (21 reviews)
Paul
23€
/u
1e les gratis!
Marvin
5
5 (26 reviews)
Marvin
28€
/u
1e les gratis!
Floor
5
5 (13 reviews)
Floor
20€
/u
1e les gratis!
Fettah
4,7
4,7 (12 reviews)
Fettah
24€
/u
1e les gratis!
Ayoub
4,9
4,9 (18 reviews)
Ayoub
25€
/u
1e les gratis!
Daniel
4,9
4,9 (14 reviews)
Daniel
25€
/u
1e les gratis!
Lisa
4,8
4,8 (12 reviews)
Lisa
18€
/u
1e les gratis!
Adam
4,9
4,9 (37 reviews)
Adam
25€
/u
1e les gratis!
Paul
5
5 (21 reviews)
Paul
23€
/u
1e les gratis!
Marvin
5
5 (26 reviews)
Marvin
28€
/u
1e les gratis!
Floor
5
5 (13 reviews)
Floor
20€
/u
1e les gratis!
Fettah
4,7
4,7 (12 reviews)
Fettah
24€
/u
1e les gratis!
Ayoub
4,9
4,9 (18 reviews)
Ayoub
25€
/u
1e les gratis!
Daniel
4,9
4,9 (14 reviews)
Daniel
25€
/u
1e les gratis!
Lisa
4,8
4,8 (12 reviews)
Lisa
18€
/u
1ste les gratis>

Hoe het allemaal begon

Hoewel Euclides over het algemeen als de vader van de geometrie wordt beschouwd, waren geometrische studies al aan de gang lang voordat hij zijn waarnemingen in de praktijk bracht.

Ongeveer 2.500 jaar voordat Euclides werd geboren, bestudeerden de oude Mesopotamiërs al stomphoekige driehoeken. Babyloniërs hadden aanzienlijke empirische gegevens verzameld over hoeken, lengtes, delen, oppervlakte en volume om hun fantastische steden te bouwen en hun astronomische studies te bevorderen.

Sommige van de principes die zij vaststelden zijn zo uitgebreid dat de huidige meetkundigen geavanceerde calculus zouden moeten gebruiken om tot dezelfde conclusies te komen als de vroege wiskundigen.

Gelijktijdig met de Babylonische studies werd er in India vooruitgang geboekt op meetkundig gebied. Rond 800 v. Chr. werden in de Vedische leer de eerste uitspraken van de stelling van Pythagoras opgenomen in de aanwijzingen voor het bouwen van een altaar.

Ook de Egyptenaren boekten voortgang met hun meetkundige studies. Zij moesten wel verstand hebben van geometrie en delen; hoe hadden zij anders de piramiden kunnen bouwen? Zie het beter als een goede uitdaging!

Uiteindelijk namen de Grieken het heft in handen. Ze hadden een belangrijk punt en bekeken het vanuit een andere hoek.

Vandaag de dag schrijven we Thales de oorspronkelijke wiskundige deductie toe; helaas is er niets van zijn werk bewaard gebleven. Er wordt echter beweerd dat Pythagoras een leerling van hem moet zijn geweest, omdat veel van zijn werk de ideeën van zijn hoogstwaarschijnlijke leermeester weerspiegelt.

Wist je dat Pythagoras niet alleen gek was op alle soorten driehoeken, maar dat hij ook een wereldreiziger was? Hij ging naar Babylon en reisde door tot hij in Egypte aankwam.

Sommigen speculeren dat hij minder een meetkundige was dan een verzamelaar van reeds bestaande informatie, maar wat duidelijk is, is dat hij de eerste was die een deductief bewijs leverde van wat wij kennen als de theorie van Pythagoras.

Een eeuw later, in Griekenland, was de grote filosoof Plato ook een fan van de geometrie. Omdat hij zo invloedrijk was, namen wiskundigen al snel zijn credo over: dat in de meetkunde er alleen met een passer en een liniaal gewerkt mag worden.

Van sommige problemen met passer en liniaal werd door het gebruik van de (wiskundige) theorie bewezen dat ze onmogelijk waren, maar pas zo'n 2200 jaar later!

Tenslotte komen we bij Euclides die een belangrijk en goed punt had en het ook vanuit een andere hoek bekeek.

Men denkt dat hij een student was aan de academie van Plato, en zijn 13 boeken (hoofdstukken) met de titel 'De Elementen' presenteert bepaalde 'waarheden': ideeën over geometrie die algemeen als correct worden beschouwd.

Euclides zijn vijf axioma's zijn:

  • Een rechte lijn kan altijd worden getekend tussen 2 punten.
  • Elk rechte lijn kan onbeperkt verlengd worden in een rechte lijn.
  • Bij elke recht lijn kan een cirkel getekend worden met het lijnstuk als straal en een eindpunt als middelpunt.
  • Alle rechte hoeken zijn congruent.
  • Als 2 lijnen een derde lijn op een dusdanige manier snijden dat de som van de binnenhoeken aan een kant kleiner is dan twee rechte hoeken, dan snijden deze twee lijnen elkaar uiteindelijk als ze verlengd worden.
    • Dit staat bekend als het parallellenpostulaat.

Deze steeds weer bewezen voorschriften vormen de basis van de discipline die wij kennen als de meetkunde.

Tegenwoordig worden veel van de door Euclides meetkundig uitgedrukte begrippen eerder onder de algebra dan onder de zuivere meetkunde geschaard, waarmee is bewezen dat alle wiskunde met elkaar samenhangt.

Heb je deze basisvergelijkingen van de meetkunde en delen onder de knie?

Wiskunde Geld
Meetkunde is overal terug te vinden in het dagelijks leven. | Bron: Pexels

Evolutie van de Geometrie

Deze klassieke Griekse studies, waartoe ook de geometrie behoorde, moesten op de een of andere manier hun weg vinden naar de wijde wereld, met name naar Europa, waar enkele van de grootste wiskundigen aan het werk waren.

Een groot deel van het rijkdom van het Islamitische Gouden Tijdperk, de periode tussen de 8e en de 14e eeuw, verscheen in de grote koninklijke hoven van die tijd.

De Almagest van Ptolemaeus, een wiskundig/astronomisch werk dat tot op de dag van vandaag wordt beschouwd als de invloedrijkste wetenschappelijke tekst aller tijden, werd cadeau gegeven aan koning Willem I, de tweede koning van Sicilië.

Dit werk en andere werken van Euclides werden vertaald, waardoor de Euclidische meetkunde en de algebraïsche meetkunde verder konden worden ontwikkeld. Het antwoord was een explosie van nieuwe stellingen en concepten.

Tegen die tijd was de Italiaanse Renaissance in volle gang. Kunstenaars hadden voordeel van de vooruitgang in geometrische studies; hun schilderijen kregen diepte en dimensie door de geometrische methode van het perspectief.

Denk maar aan Leonardo da Vinci's beroemdste werk, de Mens van Vitruvius: de menselijke vorm perfect in zijn exacte proporties geschilderd in een cirkel die zelf 'vierkant' is: we keren weer terug naar de passer-en-liniaal-uitdaging!

Toch ging het verspreiden van deze kennis en informatie langzaam; niet elke kunstenaar of geleerde uit de Renaissance kwam in aanraking met de nieuwste ideeën over vormen en vergelijkingen.

De wiskundige en filosoof René Descartes verbreedde het speelveld door de meetkunde te introduceren met coördinaten en vergelijkingen. Dit staat nu bekend als analytische meetkunde.

De tweede grote verandering in de meetkunde van die tijd was de projectieve meetkunde: hoe punten op één lijn liggen zonder dat er meting aan te pas komt.

De Franse wiskundige Poncelet blies het gebied van de projectieve meetkunde wijd open, maar het duurde tot Isaac Newton en Gottfried Leibniz, die onafhankelijk van elkaar werkten en calculus vaststelden als een methode om de onoplosbare problemen van de meetkunde op te lossen.

Heb jij een geometrie docent nodig om jou calculus te helpen begrijpen als het betrekking heeft op meetkunde? Zie het beter als een goede uitdaging!

Wiskunde spiekbrief
Het maken van geheugensteuntjes is een goede manier om te leren. | Bron: Pexels

Geometrische studies vandaag de dag

Niet alles wat Euclides bracht was geweldig; het parallellenpostulaat bleek onmogelijk te bewijzen, wat aanleiding gaf tot een type meetkunde dat de onmogelijkheid van dat postulaat aantoont. Dit werd de niet-Euclidische meetkunde genoemd.

Andere theorieën en ontdekkingen volgden spoedig. Eén daarvan, van Bernard Riemann, paste de calculus toe op gladde oppervlakken, waarmee een andere tak van de niet-Euclidische meetkunde werd gesticht en de grondslag werd gelegd voor 's werelds beroemdste vergelijking: e=mc2.

Van daaruit ontstonden er verdere ontwikkelingen in de algebraïsche meetkunde, die leidde tot de eindige meetkunde, die op haar beurt de ontwikkeling in de coderingstheorie en cryptografie mogelijk maakte.

Topologie, de studie van de eigenschappen van een meetkundig object, kijkt eerder naar grotere aspecten van vormen zoals hun verbondenheid en grenzen dan naar elementaire kwaliteiten zoals lengte en gelijkheid van hoeken.

Nu computers zo veel aspecten van het menselijk leven beheersen, hebben nieuwe gebieden van de meetkunde het voortouw genomen. Sommige houden zich bezig met meetkundige algoritmen (computationele meetkunde), terwijl andere zich bezighouden met individuele meetkundige gegevensverzamelingen (digitale meetkunde).

Maak gebruik van deze online meetkunde bronnen om je studie te bevorderen.

Wiskunde bord
Maak altijd aantekeningen in de les zodat je ze later kan bestuderen. | Bron: Pexels

Praktisch gebruik van meetkunde

Het is interessant om te zien dat het vakgebied van de meetkunde zo goed en ver gevorderd is. De dagen van Euclides en Descartes liggen al lang achter ons; per slot van rekening gaat niemand het cartesisch coördinatenstelsel hernoemen naar een hedendaagse meetkundige.

Intussen vragen leerlingen op de lagere en middelbare school om het antwoord op de vraag waarom ze de stelling van Pythagoras moeten leren en de graden moeten berekenen, terwijl we zoveel instrumenten tot onze beschikking hebben om alles te meten, te berekenen en te kwantificeren.

Zo'n opvatting is erg kortzichtig.

Je bouwt misschien nooit zelf een huis of een meubelstuk, maar je gaat toch beseffen dat iedereen die bij het bouwproces betrokken is, van de architect tot de machinist die de hijskraan bedient, kennis moet hebben van meetkunde en graden. Anders zouden huizen in elkaar storten en zou geen enkele stoel veilig zijn om enig gewicht te dragen.

Alles, van het volume van het glas waaruit je 's morgens je sap drinkt tot de banden van je auto, maakt gebruik van meetkundige principes bij het maken en bij het gebruik ervan.

Wat als je gewoon niets geeft om rechte lijnen, graden en geometrische vormen en niet benieuwd bent naar het antwoord?

Als je geen toekomst ziet voor jezelf in een of ander duister laboratorium, waar je de hele dag berekeningen moet maken en moet gaan oefenen, of als je hebt bedacht dat coderen en programmeren de manier is om veel geld en prestige mee te verdienen? Ook dan zal je meetkunde moeten kennen!

Als je de volgende grote game-ontwerper wilt worden, moet je weten dat alles, van vectorafbeeldingen tot de polygonen die het terrein van het spel vormen, meetkundig is.

Hoe zit het met navigatie, GPS en zelfs je nieuwe flatscreen televisie? Allemaal maken ze gebruik van geometrie om van alles te berekenen, om jou de optimale ervaring te bieden op basis van je positie.

Misschien vind je het lastig om de omtrek van een cirkel of bol, of de oppervlakte en het volume van een piramide te berekenen, maar hoe meer je leert over meetkunde en de functies ervan in de wereld om je heen, hoe meer je warm zult lopen voor dit studiegebied. Misschien maak je er zelfs wel je levenswerk van!

Meetkunde is echt zoveel meer dan een kubus of stompe hoeken onderwezen door stompe professoren.

Om je goed op weg te helpen, hebben we de basisformules van de Euclidische meetkunde in deze handige tabel verzameld waarmee je gaat oefenen. Weet jij het antwoord?

Basisformules van Euclidische meetkunde

Vorm Omtrek Oppervlakte
Driehoek a+b+c
Stelling van Pythagoras: a2+b2=c2
Oppervlakte= (1/2)*b*h

b=basis; h=hoogte

Formule van Heron:

Oppervlakte = sqrt [ s(s - a)(s - b)(s - c) ] , waarbij s = (a + b + c)/2

Vierkant 4a a2
Andere vierhoeken 2L + 2W Rechthoek: l*b

Parallellogram: b*h

Trapezium: (1 / 2)(a + b) * h

Andere veelhoeken x(aantal zijden) Vijfhoek: (5 ⁄ 2) × s × a

Zeshoek: 1/2(P)(a)

Achthoek: 2 x (1 + √2) x b2

a = apothema

b = grondvlak

Cirkels Cirkelomtrek: 2*pi*r pi*r 2

Kijk ook naar onze complete gids over geometrie.

Heb je een leraar Wiskunde nodig?

Vond je dit artikel leuk?

5,00/5 - 1 reviews
Laden...

Bart