Mathematics is the language with which God has written the universe.
Galileo Galilei
Wat is een zestigtallig stelsel en wat is een spijkerschrift? Hoewel we allemaal iconische beelden en historische momenten kennen uit een andere oude wiskundereus, de Egyptenaren, vinden veel mensen het lastig om te onthouden waar de Babyloniërs nu precies om bekend stonden.
Als je ooit een les hebt gevolgd waarin Mesopotamië ter sprake kwam, dan heb je zeker over de Babyloniërs gehoord. Dit gebied lag in het huidige Iran en Irak en veel mensen zien Babylon als een van de eerste grote steden. Of dat echt zo is, valt te bediscussiëren, maar de impact van de Babylonische beschaving op moderne politiek, geschiedenis en babylonische wiskunde is niet te ontkennen.
Je kunt je kennis van Babylonische getallen gebruiken om onze wiskunde van vandaag beter te begrijpen. Door het zestigtallig stelsel en de spijkerschriftnotatie te bestuderen, kun je vragen beantwoorden waarvan je niet eens wist dat je ze had. Bijvoorbeeld, waarom staat de nul eigenlijk midden in het talstelsel?
Wil je meer weten over wiskunde in het algemeen, vooral over hoe je een kind kunt helpen met basisvaardigheden, kijk dan eens naar onze gids over de beste online rekenspellen voor kinderen.
Laten we de wiskundige geschiedenis van deze oude beschaving induiken.
Geschiedenis van de Babylonische beschaving
Mesopotamië was in de oudheid een regio die delen omvatte van het huidige Turkije, Syrië, Iran, Irak en zelfs Koeweit, langs de riviersystemen van de Tigris en de Eufraat. Misschien ken je dit gebied ook als de Vruchtbare Halve Maan.
Hoewel hun rekensystemen heel anders lijken dan de onze, stonden Mesopotamië en Egypte aan de wieg van de wiskunde zoals wij die nu kennen. Elke geschiedenisles zal je vertellen dat de Mesopotamische beschaving rond 3100 v.Chr. begon en eindigde met de val van Babylon in 539 v.Chr.
De mensen die in deze regio leefden worden vaak Babyloniërs genoemd, maar in werkelijkheid gaat het om Sumeriërs en Akkadiërs. Veel van wat deze oude volken ontdekten, werd vastgelegd op kleitabletten. Die geven ons veel inzicht in de soorten problemen die zij dagelijks moesten oplossen met babylonisch rekenen.
Net als bij andere oude vormen van wiskunde vinden we in deze Babylonische tabletten dingen die wij tegenwoordig als vrij basiswiskunde beschouwen. Je vindt er bijvoorbeeld kwadratische en kubische vergelijkingen en de stelling van Pythagoras. Laten we hun wiskundige notaties en cijfers eens van dichterbij bekijken.
Een positioneel talstelsel
Om het getallenstelsel van deze mensen te begrijpen, moeten we eerst ons eigen systeem snappen. Wij gebruiken tegenwoordig een positioneel talstelsel. Dat klinkt misschien ingewikkeld, maar het idee is vrij eenvoudig.
Positionele cijfers zijn gewoon de getallen van nul tot en met negen. Met slechts deze tien symbolen (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) zijn we niet beperkt tot getallen onder de tien. We kunnen deze symbolen combineren om miljoenen verschillende getallen te maken.
Deze cijfers worden van links naar rechts geschreven en gelezen. Afhankelijk van de positie in het getal hoort er een bepaalde waarde bij. Kijk maar:
| Symbool | Plaats | Betekenis |
| 2 | Eenheden | we hebben 2 eenheden (2×1) |
| 20 | Tienen | we hebben 2 tienen (2×10) |
| 200 | Honderden | we hebben 2 honderden (2×100) |
| 2000 | Duizenden | we hebben 2 duizenden (2×1000) |
Zoals je ziet is de plaats van de 2 heel belangrijk, omdat die bepaalt of we 2, 20 of 200 bedoelen. We kunnen de 2 niet zomaar in het midden zetten, zoals 020, en dat dan als 200 lezen. Dat is precies wat een positioneel talstelsel betekent.
De Babylonische cijfers begonnen niet als zo’n positioneel systeem. Rond 3500 v.Chr. gebruikten de Sumeriërs een wiskundig systeem waarin de notatie van getallen uit verschillende symbolen bestond. De Sumeriërs hadden alleen symbolen voor de getallen 1, 10, 100 en 1000. Dat betekende dat ze maar tot 9999 konden schrijven.
Net als veel andere oude beschavingen hadden ze geen symbool voor de nul. Het symbool voor 1 had de vorm van een soort zaklamp, het symbool voor 10 leek op een pijl, enzovoort. De volgorde waarin je deze symbolen schreef, maakte niet uit, omdat elk getal zijn eigen symbool had. Het was dus een niet-positioneel talstelsel.
Dit systeem had veel beperkingen. Op een gegeven moment in hun geschiedenis voerden ze daarom hervormingen door in hun getallenstelsel. Ten eerste namen ze een positioneel systeem aan, zoals wij dat nu kennen. Maar in plaats van een grondtal van 10 gebruikten deze mensen een talstelsel met een grondtal van 60.
Een speciaal woord voor een talstelsel met grondtal 60 is een zestigtallig talstelsel. Uit dit zestigtallige systeem komt bijvoorbeeld ons huidige gebruik van 60 seconden in een minuut, 60 minuten in een uur en 360 graden in een cirkel, een mooi voorbeeld van hoe babylonische wiskunde nog steeds doorwerkt.
Dit betekent dat ze symbolen hadden voor elk getal tussen 1 en 59. Omdat het positioneel was, betekende dit dat als je een symbool voor 1 en 40 op dezelfde regel zette, je kreeg:
1x60 + 40x60 = 2460
Het getal 60 was een goede keuze als grondtal, omdat het veel delers heeft. Vergelijk de delers van deze twee grondtallen:
| Grondtal | Delers |
| 60 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 |
| 10 | 1, 2, 5, 10 |
Over dit soort basisbegrippen kun je meer leren met behulp van gratis wiskunde-apps als je babylonisch rekenen beter wilt doorgronden.
Rekenen op kleitabletten
In tegenstelling tot de Egyptische wiskunde, waarvan er maar weinig bronnen over hun rekenprocessen zijn overgebleven, hebben we veel informatie over de Sumerische en Babylonische wiskunde. De Sumeriërs schreven hun rekenwerk op kleitabletten.
De verschillende breuken en notaties van deze oude volkeren werden in de klei gekerfd terwijl die nog nat was. De tabletten werden daarna gebakken in een oven of simpelweg gedroogd in de zon. Gelukkig konden wetenschappers ongeveer 400 van deze tabletten terugvinden. De meeste daarvan komen uit wat bekendstaat als de Oud-Babylonische periode, die liep van 1830 tot 1531 v.Chr.
De mensen schreven in een type schrift dat spijkerschrift wordt genoemd. Spijkerschrift wordt vaak omschreven als wigvormig en is, samen met Egyptische hiërogliefen, een van de oudste schriftsystemen ter wereld.
Je ziet al snel dat spijkerschrift er heel anders uitziet dan de hiërogliefen uit Egypte. Spijkerschrift ontstond juist doordat het moeilijk was om gebogen lijnen in klei te maken.
met expliciete wiskundige inhoud
Nog een leuk weetje is hoe het Chinese schriftsysteem in de oude Chinese wiskunde logografische tekens gebruikt die woorden of morfemen voorstellen met een consequente structuur, terwijl Egyptische hiërogliefen een mengeling zijn van logogrammen, fonetische symbolen en determinatieven in een meer beeldend en complex systeem.
Op deze kleitabletten zijn veel wiskundige principes teruggevonden. Het gaat onder andere om breuken, kwadratische en kubische uitdrukkingen en zelfs de stelling van Pythagoras.
Je kunt meer over deze begrippen leren met hulp van een wiskundedocent, want sommige onderdelen van babylonische wiskunde zijn best lastig om zelf onder de knie te krijgen.
In Babylonië werd voor het eerst een plaats-houderteken gebruikt om lege posities in een getal aan te geven, een vroege voorloper van onze nul? Het werd pas veel later een echt getal.
Het spijkerschrift is het oudste bekende schriftsysteem waarmee wiskundige tabellen werden bijgehouden, waaronder lijsten van kwadraten en wortels? Daardoor weten we precies hoe zij rekenden.
Babylonische tabel van kwadraten
Jij bent waarschijnlijk gewend om kwadraten makkelijk uit te rekenen, omdat je ze op school misschien uit je hoofd hebt moeten leren. Voor deze oude volkeren was het niet zo eenvoudig als voor ons. Omdat de Sumeriërs en Babyloniërs complexere symbolen en regels hadden voor hun talstelsel, moesten ze een handigere oplossing bedenken.
Omdat het Babylonische getallenstelsel een grondtal van 60 had, kon het zelfs bij bewerkingen die wij nu eenvoudig vinden, moeilijk worden om alles uit het hoofd te doen. Daarbovenop kenden ze geen decimale komma. Er werd alleen met gehele getallen gewerkt. De tabel van kwadraten was een manier om richtlijnen op te schrijven voor bewerkingen die anders lastig te onthouden waren.
In 1877 analyseerde de Duitser Richard Lepsius twee kleitabletten. Hij beschreef deze tabletten als lijsten of tabellen van kwadraten. Deze analyse en conclusie werden later bevestigd door George Rawlinson en George Smith. Deze tabel van kwadraten geeft veel inzicht in hoe babylonisch rekenen in de praktijk werd toegepast.
Pythagorese drietallen
Niet alleen het oude Griekenland en Egypte kwamen tot iets wat lijkt op wat wij kennen als de stelling van Pythagoras, ook de oude Babyloniërs ontdekten deze bijzondere driehoek. Er werden twee Babylonische tabletten gevonden waarop een lijst van pythagorese drietallen staat.
Deze tabletten dateren van ongeveer duizend jaar vóór Pythagoras leefde. Dat suggereert dat de beroemde stelling niet voor het eerst door Griekse wiskundigen en filosofen is ontdekt.
Een van de tabletten, Si.427, is het belangrijkst voor deze driehoekstelling. Het laat zien hoe pythagorese drietallen werden gebruikt om rechte hoeken te construeren. Misschien vraag je je af waarom dat zo belangrijk was.
Rechthoekige driehoeken waren in de techniek van het verleden, en dan hebben we het echt over de oudheid, extreem belangrijk voor het bouwen van grote constructies, voor landmeten en nog veel meer. Pythagorese drietallen konden daarom worden gebruikt om betere kaarten te tekenen.
Als je naar de tablet zelf kijkt, lijkt het misschien niet bijzonder. Toch zie je spijkerschrift, gecombineerd met veel lijnen die haaks op elkaar staan. Die lijnen waren nodig om de rechte hoek zo nauwkeurig mogelijk te berekenen.
Welk onderdeel van de Babylonische wiskunde vind jij het meest interessant?
Vond je dit artikel leuk? Laat een beoordeling achter!
Laden...
