De meeste kinderen maken voor het eerst kennis met de fascinerende wereld van het Oude Egypte via leuke reken en geschiedenis lessen over hiëratische symbolen, hiërogliefen en Egyptische kunst. Hoewel we ons vaak vooral de bekende onderwerpen herinneren, zoals farao’s en goddelijke symbolen, vergeten we makkelijk hoe wiskunde en natuurkunde in verschillende delen van de wereld zijn gebruikt om problemen op te lossen.
Wist je bijvoorbeeld dat de beroemde stelling van Pythagoras niet echt door de Griekse wiskundige Pythagoras is ontdekt, maar al besloten lag in de zogenoemde Egyptische driehoek? Ben je benieuwd naar deze indrukwekkende beschaving, dan duiken we hier in alles, van oud Egyptische cijfers tot de Rhind-papyrus.
De geschiedenis van Egyptische getallen en wiskunde
Deze beroemde beschaving staat bekend om haar indrukwekkende monumenten, haar belangrijke rol in de wereldgeschiedenis en misschien nog wel het meest om haar enorme invloed op de wiskunde die we vandaag nog gebruiken. Hoe kwamen gewone Egyptenaren tot zulke complexe getallen en formules? Simpel, ze begonnen met het oplossen van problemen uit hun dagelijks leven.
dat over breuken gaat
Denk aan de Grote Piramiden van Gizeh, het is geen verrassing dat een beschaving die zulke bouwwerken kon neerzetten, ook uitstekende ingenieurs moest zijn. Ze hadden grote kennis van geneeskunde, maar juist bij de Egyptische wiskunde deden de ouden ontdekkingen die nog steeds worden toegepast.
Complexe wiskunde en systemen zoals het beroemde hiëratische schrift zijn niet zomaar uit de lucht komen vallen. Er waren veel praktische problemen die opgelost moesten worden in een rijk van die omvang. Kun je zelf een probleem bedenken dat grote delen van dit land kon treffen? Enkele voorbeelden:
Veel van deze zaken vinden wij inmiddels heel vanzelfsprekend, maar voor de Egyptenaren was dit een van de eerste momenten waarop mensen zulke uitdagingen überhaupt moesten oplossen.
Als je moeite hebt met de basisbegrippen die je nodig hebt om Egyptische wiskunde te begrijpen, kan het helpen om ook eens te kijken naar de geschiedenis van de Griekse wiskunde of naar toegankelijke rekenapps voor kinderen.
Laten we nu bekijken hoe de Egyptenaren hun obstakels omzetten in oplossingen die we vandaag nog herkennen in talstelsels en rekenmethodes.
Egyptische cijfers
Om te begrijpen hoe deze samenleving systemen ontwikkelde om te tellen en bewerkingen uit te voeren, is het handig eerst even stil te staan bij ons eigen, moderne talstelsel. Zou jij kunnen zeggen wat voor soort systeem wij gebruiken?
Ons rekensysteem komt uiteindelijk van de Babyloniërs en heet een positioneel systeem. Dat klinkt ingewikkeld, maar het idee is juist heel eenvoudig, daarom heeft het zich wereldwijd verspreid en gebruiken we het nog steeds.
Chinese getallen werken met een decimaal positioneel systeem met aparte tekens voor cijfers en plaatswaarde, terwijl Egyptische cijfers juist een niet-positioneel systeem gebruikten, met aparte symbolen die je herhaalde voor eenheden, tientallen, honderden enzovoort. Het Egyptisch talstelsel lijkt daardoor eerder op herhaling van symbolen dan op schuiven met cijfers zoals wij dat doen.
We zien onze cijfers (0 tot en met 9) vaak niet zo, maar het zijn eigenlijk ook gewoon symbolen. In totaal hebben we 10 van die symbolen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. In een positioneel systeem krijgt elk symbool zijn waarde vooral door de plek in het getal. Om tien te schrijven moeten we dus 10 schrijven en niet 01.
De Egyptenaren gebruikten net als wij een decimaal systeem met een basis van 10. Hiërogliefen cijfers lijken misschien ingewikkeld, maar het zijn in wezen gewoon andere symbolen voor getallen dan wij nu gebruiken. Hieronder zie je een voorbeeld van de symbolen die in Egyptische wiskunde gebruikt werden voor Egyptische getallen.
Tabel: hiërogliefen cijfers
| Number | Egyptisch symbool |
| 1 | Eén streepje: ` |
| 10 | Omgekeerde U |
| 100 | Opgerolde touwrol |
| 1 000 | Lotusplant |
| 10 000 | Opstekende vinger |
| 100 000 | Kikker |
Hier zie je duidelijk hoe oud Egyptische cijfers werken, het zijn hiërogliefen cijfers die telkens herhaald worden om grotere Egyptische getallen op te bouwen.
Een andere oude cultuur die geen positioneel systeem gebruikte, waren de Chinezen. Hun systeem is een goed voorbeeld van een klassiek, niet-positioneel talstelsel. Wil je daar meer over weten, dan is het interessant om ook in de Chinese wiskundige traditie te duiken.
Als je wiskunde lastig vindt, kun je veel hebben aan een paar één-op-één sessies met een bijlesdocent. Dat maakt het vaak een stuk makkelijker om concepten rond talstelsels en Egyptische cijfers echt te begrijpen.
De Rhind-papyrus
Hoewel we aardig wat weten over de wiskunde en rekenmethodes van de Egyptenaren, weten we eigenlijk weinig over de manier waarop zij tot al die ontdekkingen zijn gekomen. We beschikken bijvoorbeeld over goede bronnen over de betekenis van veel hiëratische tekens of over de symboliek van bijvoorbeeld het Oog van Horus, maar er zijn nauwelijks teksten bewaard gebleven waarin de ontwikkeling van Egyptische wiskunde stap voor stap wordt uitgelegd.
Dat komt deels door de enorme ouderdom van deze bronnen, maar ook doordat grote verzamelingen teksten en rekenkundige werken verloren zijn gegaan, bijvoorbeeld bij de brand in de bibliotheek van Alexandrië.
Een belangrijke uitzondering is de zogenaamde Rhind-papyrus. Dit document, dat in de 19e eeuw werd gevonden door de Schotse egyptoloog Henry Rhind, is een van de weinige wiskundige teksten die we uit het Oude Egypte hebben. De Rhind-papyrus bevat 84 tot 87 opgaven die bedoeld waren om gewone mensen in het dagelijks leven te helpen.
Die vraagstukken variëren van vrij simpel tot behoorlijk ingewikkeld. Een eenvoudig voorbeeld is het verdelen van een bepaald aantal broden, n, over tien personen. Opgave 1 geeft de oplossing als n gelijk is aan 1 brood. Opgave 2 doet hetzelfde voor n = 2 broden, opgave 3 voor n = 6 broden, enzovoort.
Complexe hiërogliefen cijfers, breuken en formules
In de Rhind-papyrus komen we ook breuken tegen. De Egyptenaren hielden van een soort “vereenvoudigen” waarbij alle breuken werden herleid tot een som van zogenaamde eenheidsbreuken. Een breuk als 3/5 werd dan geschreven als 1/2 + 1/10.
In de papyrus staat uitgelegd hoe je zulke breuken kunt ontbinden. Andere belangrijke bronnen, zoals de Moskou-papyrus, bevatten meer informatie over de manier waarop de Egyptenaren bijvoorbeeld volumes van piramiden en cirkels berekenden, en zelfs hoe zij een benadering voor π gebruikten.
Alle breuken die men in de praktijk gebruikte, waren eenheidsbreuken, met één uitzondering: 2/3. Dat betekent dat vrijwel elke breuk een teller van 1 had. De ouden gebruikten verschillende hiërogliefen en hiëratische symbolen om die breuken mee aan te geven. Zie je hoeveel we leren van deze beschavingen en hun talstelsels? Delen van het Oog van Horus stonden bijvoorbeeld voor verschillende eenheidsbreuken. Enkele voorbeelden:
| Breuk | Egyptisch symbool |
| 1/2 | Rechterdeel van het oog |
| 1/4 | Pupil van het oog |
| 1/8 | Wenkbrauw |
| 1/16 | Linkerdeel van het oog |
Zo verweven de Egyptenaren hun religieuze symboliek met het Egyptisch talstelsel en met concrete rekenpraktijk.
De Egyptische driehoek
Iets wat je misschien nog niet wist over deze beschaving, is dat zij de uitvinders zijn van iets dat je waarschijnlijk wél kent. Laten we er een klein raadspelletje van maken. Kun jij raden wat ze hebben bedacht? Hier zijn wat hints:
Heb je al een idee? De Egyptenaren benaderden in feite wat wij nu kennen als de stelling van Pythagoras. De stelling wordt doorgaans rond 500 v.Chr. gedateerd, maar het is niet duidelijk hoeveel mensen haar toen echt kenden.
Wat we wel weten, is dat de Egyptenaren voor het bouwen van hun piramiden en andere bouwwerken vaak een driehoek met zijden in de verhouding 3:4:5 gebruikten. Met andere woorden, zij waren uitstekende ingenieurs, zelfs met de beperkingen van hun hiërogliefen cijfers en Egyptische cijfersystemen.
De 3:4:5-driehoek is een rechthoekige driehoek. Het mooie is dat de drie zijden altijd hele getallen zijn, ongeacht de gekozen meeteenheid. De verhouding is steeds 3 tot 4 tot 5. De bijbehorende zijden:
| Zijde | Deel van de driehoek |
| 3 | Basis van de driehoek |
| 4 | Hoogte van de driehoek |
| 5 | Hypotenusa (langste zijde) |
Het handige van deze “magische” vorm is dus dat je met alleen hele getallen kunt werken. Dat was prettig, want we hebben gezien dat rekenen met breuken en met het Egyptisch talstelsel vaak lastig was. Voor veel praktische toepassingen waren hele Egyptische getallen een stuk eenvoudiger.
Opvallend genoeg, terwijl de Egyptenaren met deze beperkingen worstelden, ontwikkelden Babylonische wiskundigen een veel geavanceerder talstelsel in basis 60. Daarmee konden ze moeilijke berekeningen veel makkelijker en nauwkeuriger uitvoeren, vooral bij breuken. Dat was nuttig voor bijvoorbeeld astronomie en handel. Het contrast tussen de Egyptische wiskunde en de Babylonische aanpak laat goed zien hoe cruciaal een goed talstelsel is, en hoe slimme trucs met hele getallen, zoals de 3:4:5-driehoek, belangrijke opstapjes waren naar latere, complexere systemen.
Zoals gezegd is de 3:4:5-driehoek altijd rechthoekig. Rechthoekige driehoeken zijn bijzonder in de wiskunde, omdat ze allerlei handige eigenschappen hebben. Een daarvan is dat de twee scherpe hoeken samen altijd 90 graden zijn en dus complementair. Als je een rechthoekige driehoek hebt, kun je de overige hoeken bepalen zodra je één hoek en twee zijden kent.
Het is bekend dat Egyptenaren touwen gebruikten om hoeken uit te zetten. Ze maakten een touw met 12 knopen. Weet je al waar dit naartoe gaat? Met dat touw kon je een rechthoekige driehoek vormen door het neer te leggen en de knopen te delen over de zijden. Elke knoop telde mee in de lengte van een zijde:
| Symbool | Deel van de driehoek |
| 3 knopen | Basis van de driehoek |
| 4 knopen | Hoogte van de driehoek |
| 5 knopen | Hypotenusa (langste zijde) |
Zo zie je dat zelfs met relatief eenvoudige middelen, zoals een touw met knopen en hiërogliefen cijfers op papyrus, het Egyptisch talstelsel en Egyptische getallen de basis vormden voor wiskundige ideeën die we nog steeds gebruiken.
Vond je dit artikel leuk? Laat een beoordeling achter!
Laden...
