“Wiskunde is de goedkoopste wetenschap. In tegenstelling tot natuurkunde of scheikunde is er geen dure apparatuur voor nodig. Alles wat je nodig hebt voor wiskunde is een potlood en papier.” - George Polya
Als middelbare scholieren in Nederland wiskunde in hun vakkenpakket hebben dan moeten ze op hun eindexamen kunnen ontbinden in factoren .
Voor degenen die wiskunde niet leuk vinden of zelfs haten, kan ontbinden in factoren lastig zijn, maar in deze blog zullen we enkele eenvoudige manieren bekijken om dit te doen.
Wat is Ontbinden in Factoren Ofwel Factorisatie?
Factorisatie is het proces van het transformeren van twee of meer factoren, waardoor uitdrukkingen gemakkelijker uit te werken zijn. Als je dit met hoofdrekenen doet, wil je de gemeenschappelijke factoren bij elkaar optellen en vervolgens de andere optellen.
Laten we kijken naar 200 x 25 + 425 x 25.
We kunnen dit als volgt vereenvoudigen:
200 x 25 + 425 x 25
= 25x (200+425)
= 25 x 625
= 15.625
In dit geval is 25 de hoogste gemene deler. Je hoeft alleen de resterende termen op te tellen en ze met 25 te vermenigvuldigen om op te lossen.
Stel dat we het verschil tussen de oppervlakten van twee cirkels willen berekenen. Dit betekent dat je de oppervlakte van beide cirkels moet berekenen en de ene van de andere moet aftrekken. A = (π x R²) - (π x R²) = (π x 25²) - (π x 15²).
(π x 25²) - (π x 15²) resulteert in dat je twee vierkanten moet berekenen en ze vervolgens beide moet vermenigvuldigen met pi (ongeveer 3,14) voordat je het ene gebied van het andere kunt aftrekken.
Dit betekent: A = π x (25² - 15²)
Gelukkig weten we dat het verschil van twee vierkanten is:
a² - b² = (a - b) (a + b)
A = π (25 - 15) x (25 + 15),
= π x 10x40
= π x 400 of 400π.
Als we π als 3,14 nemen, is het verschil tussen deze twee cirkels 1.256 cm².
Factoriseren van algebraïsche uitdrukkingen in de producten van factoren is erg handig in dit soort formules.
Factoriseren van Letterlijke Vergelijkingen
Als het gaat om het oplossen van vergelijkingen, moet je weten welke algebraïsche regels je moet toepassen.
Om een uitdrukking in verschillende producten te ontbinden, moet je een gemeenschappelijke factor vinden, dus we gaan op zoek naar een term waarmee we de eerste met de tweede kunnen vermenigvuldigen. 4x+20 is gelijk aan 2(2x+10).
Ontbinden in factoren stelt je in staat om de vergelijking op te splitsen.
Er zijn twee manieren om te ontbinden in factoren:
- Distributiviteit;
- Merkwaardige producten.
Als je het resultaat van f(x) = 0 wilt weten, weten we dat het product nul moet zijn als een van de factoren 0 is.
Je kunt f(x) = 0 herschrijven als y(x) x g(x) = 0 en dan kun je een oplossing vinden voor y(x) = 0 of g(x) = 0.
Laten we naar een ander voorbeeld kijken.
Laten we ons voorstellen dat je in je eindejaar toets de volgende vergelijking moet oplossen: 4x² = 64. Dit is niet de gemakkelijkste som om in je hoofd te doen, maar je zou x kunnen vervangen door 1, 2, 3, enzovoort totdat je vindt het antwoord voor 4x² = 64.
Als je een algemeen product gebruikt, is het veel gemakkelijker op te lossen.
4x²=64 is hetzelfde als 4x² - 64 = 0.
Dus f(x) is 4x² - 64. Als f(x) gelijk is aan 0, dan is 4x² - 64 ook gelijk aan nul.
We kunnen het verschil van twee vierkanten gebruiken.
Je kunt dit ontbinden tot (2x-8) (2x+8) = 0.
Dit wordt dan 2x-8 = 0 of 2x + 8 = 0.
Nu wordt 2x-8 = 0 x = 8/2 en 2x+8 = wordt x = -8/4. De vergelijking heeft twee oplossingen: -4 en 4.
Onthoud dat de Tekenregel van Descartes bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen en lineaire vergelijkingen kan helpen. Na vereenvoudiging kan het aantal tekenveranderingen je vertellen hoeveel positieve, negatieve en denkbeeldige nullen je zult hebben.
Je moet ook letten op de haakjes bij het uitschrijven van polynomen en dan is er de volgorde van bewerkingen waar je voorzichtig mee moet zijn.
Controleer altijd je resultaten aan het einde, want het kan vervelend zijn om punten in een examen te laten vallen voor domme fouten of het gebruik van het verkeerde teken.
Factoriseren met Verschillende Gemeenschappelijke Factoren
Als er maar één gemeenschappelijke factor is, is de oplossing vrij eenvoudig.
Maar wat gebeurt er als de gemeenschappelijke factor twee termen bevat?
Hier is een snelle oefening:
Zoek de gemene deler en ontbind de volgende uitdrukking: (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3).
De uitdrukking heeft de vorm (ax + ...) + (ax + ...).
Hier is de gemeenschappelijke factor (x+3) met twee termen. Om te ontbinden, moet je ongeveer hetzelfde doen als met een enkele term, maar je zult vierkante haken willen gebruiken om de termen te isoleren.
Hier zijn de resultaten:
De gemeenschappelijke factor is (x+3)
Gebruik het principe van distributiviteit en let op de regel van tekens.
- A = (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3)
- A = (x + 3) [(2x – 1) – (4x – 5)]
- A = (x + 3) (2x – 1 – 4x + 5)
- A = (x + 3) (– 2x + 4)
Als A gelijk is aan 0, (x+3) = 0 of (-2x + 4) = 0.
De twee oplossingen zijn dus x = -3 of x =2.
Voor mensen die zoeken naar bijles voor wiskunde, bevelen wij het aan om aan de slag te gaan via Superprof. Onze leraren staan voor je klaar!
Merkwaardige Producten
Merkwaardige producten zijn een bepaald type vergelijking.
We kunnen ze gebruiken om te ontbinden in factoren.
Er zijn drie manieren om dit te doen, dus je moet ze uit je hoofd leren:
- (a+b)² = a² + 2ab + b²
- (a-b)² = a² - 2ab + b²
- (a+b) (a-b) = a² - b²
Deze zijn vooral handig met kwadratische vergelijkingen, die je veel zult zien als je wiskunde studeert op school.
De som van twee kwadraten is gelijk aan het kwadraat van de eerste plus het dubbele van de eerste term vermenigvuldigd met de tweede plus het kwadraat van de tweede.
De tweede stelt dat het verschil tussen de twee termen gelijk is aan het verschil van de eerste term in het kwadraat en het dubbele van het product van de eerste en tweede termen plus het kwadraat van de tweede term. En ten slotte stelt de laatste dat het product van de som van de twee termen minus hun verschil gelijk is aan de eerste kwadraat van de term minus de tweede kwadraat.
Bijvoorbeeld:
Hoe kun je a² + 6a + 9 ontbinden in factoren?
Antwoord: a² + 6a + 9 = a² + 2a x 3 + 3², vandaar a² + 6a + 9 = (a+3)²
Hoe kun je x² - 81 ontbinden?
Laten we zoeken naar een waarde voor x waarbij het kwadraat gelijk is aan 81; x = 9.
Door de derde methode hierboven te gebruiken, zien we dat x² - 81 = (x + 9) (x - 9).
Dankzij ontbinding in factoren kun je deze vergelijking oplossen met hele getallen, breuken en vierkantswortels.
Laten we nu eens kijken hoe dingen een beetje lastiger worden als het gaat om het ontbinden van een kwadratische vergelijking.
Leer veel meer door middel van privéles. Onze wiskunde docenten van Superprof helpen je graag met het verrijken van je kennis!
Hoe Moet je een Kwadratische Vergelijking Ontbinden in Factoren?
Studenten hebben de neiging om later in hun opleiding wiskunde te leren hoe ze kwadratische vergelijkingen kunnen ontbinden.
Dit houdt in dat de kwadratische vergelijking in de standaardvorm wordt herschreven, wat betekent dat we a, b en c hebben, waarbij a ≠ 0 en Δ de discriminant van de polynoomvergelijking ax2 + bx + c vertegenwoordigen.
Als x1 en x2 de wortels zijn van een kwadratische veelterm ax2 + bx + c, kunnen ze worden ontbonden als z (x-x1) (x-x2).
Als x0 de enige wortel is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c, dan kan deze worden ontbonden als (x-x0)².
Aangezien het product van a (x-x0)² = a(x-x0)(x-x0), weten we dat x0 een dubbele wortel is.
We kunnen het volgende afleiden:
Als ∆ = 0, heeft ax² + bx + c een dubbele reële wortel x(0) = - (b/2a) en ax² + bx + c = a (x - x0)² en voor alle reële x, ax2 + bx + c = a (x - x0)².
Als ∆ < 0, kan de polynoom ax² + bx + c niet worden ontbonden in ℝ.
Als ∆ > 0, ax² + bx + c heeft twee echt verschillende wortels, (x1) = (-b - √∆)/2a en (x2) = (-b + √∆)/2a en voor alle reële x, ax² + bx + c = a (x-x1) (x-x2).
Als c = 0, wordt de gefactoriseerde vorm van de uitdrukking ax² + bx + c x (ax + b).
Als je hiermee worstelt, is het een goed idee om bij elke methode te werken aan factorisatie buiten de klas.
Om wiskunde nog beter te bestuderen, wil je misschien ook leren factoriseren met je rekenmachine.
Door ontbinding in factoren kun je sneller oplossingen vinden, zolang je niet over alle haakjes struikelt!
Als je je verloren voelt als het om wiskunde gaat, overweeg dan om hulp te krijgen van een privéleraar wiskunde op de website van Superprof.
Je kunt bijlesdocenten vinden die gespecialiseerd zijn in wiskunde voor alle niveaus, van basisschool tot universiteit. Er zijn verschillende manieren om van een privéleraar te leren, dus zorg ervoor dat je het type bijles kiest dat bij je past, hoe je het leuk vindt om te leren en wat je budget is.
Een-op-een bijles is het meest gebruikelijk en houdt meestal in dat de bijlesdocent slechts één student bij hen thuis lesgeeft. Omdat er maar één leerling is, kan de bijlesdocent elke minuut van de les op hen afstemmen en ervoor zorgen dat ze het meeste uit elke minuut dat ze samenwerken, halen. Natuurlijk kost deze op maat gemaakte service meestal meer omdat je betaalt voor de bijles en de tijd die de bijlesdocent moet besteden aan het plannen van de lessen en het reizen naar het huis van zijn studenten.
Het is altijd een goed idee om jouw vereisten inzichtelijk te maken voordat je op zoek gaat naar bijlesdocenten. Op de website van Superprof kun je zien welke ervaring ze hebben, wat hun andere studenten over hen zeggen en hoeveel ze elk uur in rekening brengen. Voordat je contact opneemt met bijlesdocenten en gratis lessen gaat regelen, raden we je aan om je zoekopdracht te verfijnen tot wiskunde docenten die aan je eisen voldoen.
Vond je dit artikel leuk? Laat een beoordeling achter!
Laden...
