Het verschil tussen de dichter en de wiskundige is dat de dichter probeert zijn hoofd in de hemel te krijgen, terwijl de wiskundige probeert de hemel in zijn hoofd te krijgen. GK Chesterton
Binnen OESO-landen heeft Nederland in PISA (Programme fot International Student Assessment) voor wiskunde in de afgelopen twaalf jaar een hoge positie ingenomen. In 2006 en 2009 waren alleen Finland en Zuid-Korea aanmerkelijk beter. In 2012 waren dit Japan en Zuid-Korea, in 2015 kwamen daar Estland en Zwitserland bij. Japan is het enige OESO-land dat in 2018 beduidend hoger scoort dan Nederland. Van de vijftien EU-landen die in 2018 deelnamen stond Nederland voor wiskunde bovenaan.
Als het om wiskunde gaat, vooral bij middelbare scholieren, is de tak algebra een belangrijk onderdeel. In de algebra worden getallen voorgesteld door letters en bestaan er allerlei regels die zeggen hoe je met die letters moet rekenen. Het is een goed idee om te weten hoe je de uitdrukkingen zowel binnen als buiten kunt vermenigvuldigen.
In deze blog gaan we kijken naar distributiviteit, dubbele distributie en merkwaardige producten.
Distributiviteit in de Algebra
Wiskunde is een van de belangrijkste lessen op school. Veel leerlingen vinden het echter niet leuk en algebra is immers nauwelijks vanzelfsprekend. Het is echter iets waar je behoorlijk wat van moet leren, vooral op de middelbare school.
De distributieve eigenschap stelt ons in staat om haakjes uit te breiden en dingen eenvoudiger te maken. Hoewel een haakje handig kan zijn om aan te tonen dat een bewerking moet worden voltooid vóór alles daarbuiten, kan het met meerdere haakjes gemakkelijker zijn om de haakjes uit te breiden door de termen te vermenigvuldigen (bekend als uitbreiden).
Je kunt dit gebruiken om de vermenigvuldiging van verschillende soortgelijke termen uit te breiden tot een som zoals x(y + z) = xy + xz.
Er zijn twee manieren om dit te doen:
- Distributieve eigenschap van vermenigvuldiging;
- Dubbele verdeling.
Distributie geeft ons een antwoord als een som (of aftrekking) van termen. Er zijn veel verschillende manieren om een wiskundige vergelijking uit te schrijven en tijdens je tijd met algebra zul je dit vaak zien.
Nog steeds niet duidelijk?
Hier is een voorbeeld van een getal dat wordt vermenigvuldigd en op hoeveel verschillende manieren je tot hetzelfde antwoord kunt komen.
- 10 x 25 = 10 x (20 + 5) = 10 x 20 + 10 x 5 = 200 + 50 = 250.
- Dus 10 x 25 = 10 x (20 + 5): 10 x 25 = 10 x (20 x 5) is in feite hetzelfde als 10 x (35 -10)
- 10 x 25 = 10 x (35 - 10) = 10 x 35 - 10 x 10 = 350 - 100 = 250
- 10 x 25 = 10 x (27 - 5 + 3) = 10 x 27 - 10 x 5 + 10 x 3 = 270 - 50 + 30 = 250
Het resultaat kan ons in staat stellen om vergelijkingen eenvoudiger en vaak gemakkelijker in ons hoofd te maken. Het stelt ons ook in staat om haakjes te verwijderen, wat je moet doen als je een wiskundige vergelijking wilt vereenvoudigen.
Een vergelijking met een factor vermenigvuldigd met een groep in de vorm van de som is hetzelfde als de som als de factor afzonderlijk vermenigvuldigd met de leden van de groep.
Dit wordt vaak weergegeven als a(b + c) = ab + ac.
Hetzelfde geldt voor aftrekken: a(b - c) = ab - ac.
Deze techniek kan worden gebruikt om ons te helpen bij het oplossen van veeltermen.
Onthoud dat er zelden een enkele manier is om algebraïsche uitdrukkingen te schrijven en als het gaat om het vinden van een oplossing, vooral als je een haakje ziet, kan de langere of uitgebreide versie de sleutel zijn om de vraag te beantwoorden.
Dubbele Verdeling
In sommige gevallen is een wiskundige uitdrukking ingewikkelder en omvat ze tweedegraads polynomen (veeltermen) of kwadratische polynomen.
Dus hoe kun je een kwadratische polynoomvergelijking met verschillende coëfficiënten oplossen?
Het is makkelijker dan je zou denken.
Voor de functie f(x) = (x - 1)(2x + 3) moet je de termen groeperen en de producten omzetten in de som van twee termen.
Het werkt als volgt: (a + b) x (c + d) = ac + ad + bc + bd.
Bijvoorbeeld:
- (a + b) (c - d) = ac - ad + bc - bd
- (a - b) (c + d) = ac + ad - bc - bd
- (a - b) (c - d) = ac - ad - bc + bd
Vergeet geen van de termen en zorg ervoor dat je de tekenregel onthoudt.
Bijvoorbeeld:
- f(x) = (x -1)(2x + 3)
- = 2x² + 3x - 2x + (-1 x 3)
- = 2x² + 3x - 2x - 3
- = 2x² + 3x - 2x - 3
Dit geeft ons f(x) = 2x² + 3x - 2x - 3
Kun jij het volgende oplossen:
- f(x1) = (x + 3)(2x + 1)
- f(x2) = (5 + x)(3x − 2)
- f(x3) = (6 − 5x)(7 − 4x)
Hier zijn de antwoorden (niet kijken!):
- f(x1) = 2x2 + x + 6x + 3 = 2x² + 7x + 3
- f(x2) = 15x – 10 + 3x2 − 2x = 3x² + 13x - 10
- f(x3) = 20x² + 42 − 24x − 35x = 20x² - 59x + 42.
Het verdelen van dit soort vergelijkingen is een goede mentale gymnastiek.
Leer alles over algebra met behulp van een ervaren wiskunde docent via Superprof. Onze docenten helpen je graag!
Hoe Kun je Algebraïsche Uitdrukkingen Vereenvoudigen?
Met de soorten vergelijkingen die we eerder zagen, kunnen we eindigen met veel optellen en aftrekken met een gemeenschappelijke variabele (vaak x).
Dit betekent dat je ze kunt vereenvoudigen. Met een gemeenschappelijke factor is vereenvoudigen vrij eenvoudig. Je voegt gewoon de termen met dezelfde factor toe of trekt ze af. Je kunt ze dan in toenemende of afnemende machten schrijven. Hierdoor kun je de bewerkingen eenvoudiger uitvoeren. Laten we alle x, x2 en onbekenden groeperen.
Bijvoorbeeld:
- 2x + 12 + 4x² - 6x + 4x² + 2
- = 8x² - 4x + 14
Beter nog, laten we eens kijken naar de volgende uitdrukking (3x + 1) (2x + 4). Met deze haakjes kunnen we het geheel vereenvoudigen door ze uit te breiden.
- = (3x + 1) (2x + 4)
- = 6x² + 12x + 2x + 4,
- = 6x² + 14x + 4.
Dit wordt uitbreiding genoemd als je neemt wat er tussen haakjes staat en ze afzonderlijk uitdrukt, waardoor ze gemakkelijker kunnen worden verwerkt. Het herschrijven van de uitdrukking in een eenvoudigere vorm staat bekend als reductie. Nadat je dit een paar keer hebt gedaan, wordt het een tweede natuur voor je.
In wezen vermenigvuldig je de termen tussen de haakjes en groepeer je ze zodat je uitdrukkingen overhoudt in de vorm van optellen of aftrekken en de algemene termen gegroepeerd. Je kunt vergelijkingen snel in formulieren zetten waarmee je kunt werken.
Algebra zal nog nooit zo eenvoudig hebben geleken.
Merkwaardige Producten in de Algebra
Je wilt meer weten over merkwaardige producten voor sommige algebraïsche uitdrukkingen. Dit is een bijzonder geval wanneer je iets met een gemeenschappelijke factor kunt uitbreiden om de uitdrukkingen buiten de haakjes te krijgen door te vermenigvuldigen.
Je kunt deze gevallen uitbreiden met polynoomvariabelen.
Het kan ook worden gebruikt voor het oplossen van een kwadratische vergelijking. Onthoud dat kwadratische vergelijkingen echter twee antwoorden hebben en in sommige gevallen zowel een positief als een negatief getal als oplossing hebben.
In dit geval kunnen de variabelen a en b gehele getallen, reële getallen of complexe getallen zijn.
De merkwaardige producten zijn als volgt:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- (a + b) (a - b) = a² - b²
De tweede is een bepaalde versie van de eerste casus.
Het kwadraat van een binomiaal en het product van de som en het verschil van twee binomialen zijn merkwaardige producten.
Met het gelijkteken zijn beide kanten van de vergelijking hetzelfde. Ze kunnen als volgt worden getransformeerd:
Bijvoorbeeld: f(x) = (2x - 3)² + (x + 5) (3 - x).
We moeten beginnen met het uitbreiden van het merkwaardige product (2x - 3)².
- (2x - 3)² = (2x)² - 12x + 3²,
- = 4x² - 12x + 9.
- f(x) = 4x² - 12x + 9 + (x + 5) (3 - x)
We kunnen dan de tweede term uitbreiden met behulp van de distributiviteit.
- (x + 5) (3 - x) = x (3 - x) + 5 (3 - x) = 3x - x² + 15 - 5x = -x² - 2x + 15
- f(x) = 4x² - 14x + 24 - x² - 2x + 15 = 3x² - 14x + 24
Ontdek veel meer met privélessen bij jou in de buurt, verzorgd door onze ervaren wiskunde docenten via Superprof!
Let vooral op de haakjes, vooral tijdens de eerste stap met de merkwaardige producten en zorg ervoor dat je voorzichtig bent met het volgen van de regels. Leg je rekenmachine weg en oefen zelf met het uitbreiden van polynomen. Je hebt snel alles onder de knie.
Als je meer hulp nodig hebt bij het uitbreiden van haakjes of het vereenvoudigen van wiskundige vergelijkingen, overweeg dan om contact op te nemen met een privéleraar. Het maakt niet uit op welk niveau je zit of waar je een probleem mee hebt, je zou een geschikte bijlesdocent moeten kunnen vinden op Superprof.
Onthoud dat veel van de docenten de eerste les wiskunde gratis aanbieden, dus probeer er een paar uit voordat je beslist welke het beste bij je past.
Het gaat meer dan alleen om het antwoord op wiskundevragen te vinden, je moet begrijpen hoe je tot de oplossing komt, vooral als je studeert voor je Havo- of Vwo wiskunde-examen.
Gelukkig kan een privéleraar je helpen met nakijken van de stof, je voorbeelden geven om aan te werken en je verschillende manieren laten zien om de vragen en problemen die je tegenkomt te begrijpen. Immers, als het gaat om het leren van wiskunde, baart oefening kunst!
Als je geen geschikte bijlesleraar in jouw omgeving kunt vinden, kun je altijd leren met een online bijlesdocent. Terwijl het leren van praktijkonderwerpen vaak beter is met een persoonlijke bijlesdocent, zijn online bijlesdocenten geweldig voor wiskunde en andere academische vakken.
Het is altijd een goed idee om jouw vereisten in kaart te brengen voordat je op zoek gaat naar docenten. Op de website van Superprof kun je zien welke ervaring ze hebben, wat hun andere studenten over hen zeggen en hoeveel ze elk uur in rekening brengen. Voordat je contact opneemt met docenten en gratis lessen gaat regelen, raden we je aan om je zoekopdracht te verfijnen tot docenten die aan je eisen voldoen.
Vond je dit artikel leuk? Laat een beoordeling achter!
Laden...
