De essentie van wiskunde ligt in haar vrijheid. Georg Cantor
Als het gaat om het oplossen van problemen, maakt wiskunde graag gebruik van stellingen en formules. Eenmaal bewezen, worden ze regelmatig gebruikt om bepaalde soorten problemen te verhelpen. Voordat stellingen stellingen worden, worden ze aangeduid als vermoeden.
Een vermoeden in de wiskunde moet een bepaalde wiskundige eigenschap bewijzen, maar kan nog steeds worden gebruikt als er geen solide weerlegging is aangetoond. Wiskundigen kunnen nog steeds nieuwe regels ontdekken en creëren. In wezen lijkt vermoeden veel op een hypothese, maar een hypothese is iets dat kan worden getest om het antwoord te vinden, wat niet altijd het geval is bij vermoeden.
Ondanks hoe slim wiskundigen zijn, zijn er nog steeds nogal wat vermoedens. Zelfs eeuwen van onderzoek en technologische vooruitgang hebben niets opgeleverd.
Klaar om een echte wiskundige te worden?
In deze blog kijkt Superprof naar vermoedens en een korte geschiedenis van de wiskunde.
Wat is een Vermoeden?
Volgens Wikipedia is een vermoeden "een conclusie of een stelling waarvan wordt vermoed dat deze waar is vanwege voorlopig ondersteunend bewijs, maar waarvoor nog geen bewijs of weerlegging is gevonden."
Vermoedens, hoewel onbewezen, worden soms gebruikt alsof ze dat wel zijn.
Er zijn drie manieren om vermoedens op te lossen:
- Een bewijs;
- Weerlegging;
- Onafhankelijke vermoedens.
Dit geldt voor alle gebieden in de wiskunde, van geometrie tot cryptografie, en elk probleem dat wordt gepresenteerd, moet op een van deze drie manieren worden opgelost voordat het kan ophouden gissen te zijn.
Als je op school zit en hulp zoekt bij je wiskunde, overweeg dan om contact op te nemen met een privéleraar. Zoals je zult zien, is logica een belangrijk onderdeel van wiskunde. Het maken van logische gevolgtrekkingen is ook een belangrijk onderdeel van je dagelijks leven.
Laten we nu eens kijken hoe we een vermoeden kunnen bewijzen.
Hoe Laat je Zien of het Wiskundige Vermoeden Waar Is?
Ben je bekend met algebra?
Dit is een vorm van wiskunde waarbij je letters gebruikt in plaats van cijfers om onbekende waarden weer te geven. De meesten van ons zullen voor het eerst algebraïsche problemen zien als we middelbare scholieren zijn en zullen regelmatig vergelijkingen krijgen om op te lossen.
Bij een probleem of vermoeden is algebra vaak een essentieel onderdeel van wiskundig bewijs, omdat je een fictieve of theoretische versie van je bewijs nodig hebt zonder specifieke getallen. Zo kun je bewijzen dat het in elke situatie werkt.
Algebra is een geweldige manier om een vermoeden te bewijzen en om het te bewijzen, heb je drie voorbeelden nodig. Om het te weerleggen, heb je maar één voorbeeld nodig.
Laten we beginnen met enkele zeer eenvoudige vergelijkingen met een bekend antwoord en deze testen als vermoedens.
'Kies een getal en trek er 3 af. Verdubbel het en tel er 6 bij op.'
Laten we zeggen dat N=5.
- 5 - 3 = 2
- 2 x 2 = 4
- 4 + 6 = 10
Laten we zeggen dat N=7.
- 7 - 3 = 4
- 2 x 4 = 8
- 8 + 6 = 14
Laten we voor het laatste voorbeeld zeggen dat N=30.
- 30 - 3 = 27
- 2 x 27 = 54
- 54 + 6 = 60
In elk voorbeeld is het eindresultaat het dubbele van het origineel. Dit is ons vermoeden en om het probleem op te lossen, moeten we bewijzen dat dit altijd het geval is en niet alleen met de getallen die we hebben gekozen.
Aangezien algebra een getal kan vervangen door een variabele, kunnen we aantonen dat het waar is:
- 2(N-3) + 6
- = 2N - 6 + 6
- = 2N
We kunnen een wiskundige regel opstellen die stelt: 'Als je een getal kiest, drie aftrekt, het resultaat verdubbelt en dan 6 optelt, krijg je het dubbele startnummer'.
Dit komt omdat het probleem niet alleen werkt met specifieke getallen, maar het kan ook werken met elk onbekend getal dankzij ons algebraïsche bewijs.
Alle grote wiskundigen hebben hun stellingen moeten bewijzen en dat is niet altijd gemakkelijk. Dit kan variëren van uren tot jaren werk!
Hier zijn enkele van de meest bekende wiskundige stellingen:
- Stelling van Gauss;
- De Stelling van Pythagoras;
- De laatste Stelling van Fermat;
- Stelling van Thales;
- De onvolledigheidsstellingen van Gödel.
Kortom, vermoeden wordt een theorie zodra het kan worden bewezen.
Zo voor de hand liggend als sommigen misschien lijken, is het bewijs misschien moeilijker te vinden.
Laten we eens kijken naar enkele beroemde voorbeelden.
Beroemde Wiskundige Vermoedens
Laten we beginnen met de perfecte getallen van Euclides. Dit zijn positieve gehele getallen die gelijk zijn aan de som van de positieve delers. Euclides vond er vier: 6, 28, 496 en 8128.
Zoek je toevallig naar bijlessen wiskunde? Volg gerust les via Superprof!
Op dit moment zijn er 51 voorbeelden bekend. Maar er zijn twee onbeantwoorde vragen.
'Is er een oneindig aantal even perfecte getallen?'
'Zijn er oneven perfecte getallen?'
Niemand weet het, zelfs 's werelds grootste wiskundigen niet. Dit is een van de problemen die onopgelost blijven en hoewel mensen veel tijd hebben besteed aan het maken van vergelijkingen en formules om dit te bewijzen, is nog geen wiskundige erin geslaagd.
Hier zijn enkele andere beroemde vermoedens.
Het Vermoeden van Goldbach
Dit vermoeden dateert uit 1742. Het is een van de bekendste problemen in de getaltheorie en is nog steeds niet opgelost.
Het deelt overeenkomsten met de Riemann-hypothese en het priem tweeling vermoeden.
Het vermoeden van Goldbach luidt:
"Elk even geheel getal groter dan 2 is de som van twee priemgetallen".
Dus 2N = p + q.
2N is altijd een even getal en p en q zijn twee priemgetallen.
Ter herinnering: een priemgetal is alleen deelbaar door 1 en zichzelf. De eerste priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, enzovoort.
Het vermoeden is nog steeds niet bewezen. Het is bewezen tot 4 x 1018 voor even getallen.
De Laatste Stelling van Fermat
Herinner je je Pythagorese drietallen nog?
De laatste stelling van Fermat, ook bekend als het vermoeden van Fermat, is gebaseerd op deze beroemde drietallen van Pythagoras.
Door te accepteren dat a2 + b2 = c2 (wat je zult zien voor rechthoekige driehoeken), zou het dan nog steeds werken als de machten werden veranderd in iets anders dan nul?
Het concludeerde dat "het onmogelijk is om een kubus in twee kubussen te scheiden, of een vierde macht in twee vierde machten, of in het algemeen een macht hoger dan de tweede, in twee gelijke machten."
De laatste stelling van Fermat kan worden uitgedrukt als:
"Voor elk geheel getal n > 2 heeft de vergelijking an + bn = cn geen positieve geheeltallige oplossingen"
Pierre de Fermat zei oorspronkelijk dat hij bewijs had voor het probleem, maar dat het niet in de marge zou passen. Veel aspecten van andere problemen die Fermat had gesuggereerd, werden later bewezen, maar de laatste stelling bleef drie en een halve eeuw een onbeantwoorde vraag in de wiskunde.
Uiteindelijk was Andrew Wiles in staat om het probleem te bewijzen en zou hij daarmee nieuwe benaderingen in verwante takken van de wiskunde openen.
Euler's Vermoeden
Dit vermoeden luidt:
“Voor alle gehele getallen n en k groter dan 1, als de som van n k-de machten van positieve gehele getallen zelf een k-de macht is, dan is n groter dan of gelijk aan k.”
Dit volgde de logica van de laatste Stelling van Fermat.
Het werd in 1966 weerlegd door Lander en Parkin.
Het Vermoeden van Poincaré
Dit vermoeden gaat over geometrische topologie. Het werd in 2003 bewezen door Perelman.
Er staat:
“Elke enkelvoudig samenhangende, gesloten 3-variëteit is homeomorf met de 3-sfeer.”
Dat gezegd hebbende, dit is een niveau van wiskunde dat waarschijnlijk te complex is voor de amateur-wiskundige.
De Riemann Hypothese
Als het gaat om problemen in wiskunde die onopgelost blijven, is de Riemann Hypothese waarschijnlijk de meest bekende. Het vermoeden stelt dat de De Riemann-zèta-functie zijn nullen alleen heeft bij de negatieve even gehele getallen en complexe getallen met reëel deel 1/2.
De reden dat deze hypothese zo belangrijk is, is dat wiskundigen, vooral degenen die in de getaltheorie werken, veel kunnen leren over de verdeling van priemgetallen.
Ondanks dat het al in 1859 door Bernhard Riemann werd voorgesteld, blijft het meer dan anderhalve eeuw later onopgelost. Hopelijk zal op een dag een ongelooflijke wiskundige het antwoord op dit belangrijke probleem vinden.
Hopelijk zou je nu iets meer moeten weten over wat vermoedens zijn in de wiskunde.
Klik hier voor het vinden van bijlessen wiskunde bij jou in de buurt. Op Superprof helpen wij je graag!
Je kunt het uitproberen met je eigen basisideeën. Gebruik logica om je vermoedens te bewijzen.
Als je meer wilt weten over wiskunde, overweeg dan om hulp te krijgen van een van de vele getalenteerde en ervaren bijlesdocenten op de website van Superprof.
Je kunt bijlesdocenten vinden die gespecialiseerd zijn in wiskunde voor alle niveaus, van basisschool tot universiteit. Er zijn verschillende manieren om van een privéleraar te leren, dus zorg ervoor dat je het type bijles kiest dat bij je past, hoe je het leuk vindt om te leren en wat je budget is.
Vergeet niet dat veel van de docenten op Superprof het eerste uur bijles gratis aanbieden, zodat je er een paar kunt uitproberen voordat je beslist welke het beste bij je past. Je kunt ook de verschillende soorten bijles uitproberen als je niet zeker weet welke je wilt.
Het is altijd een goed idee om jouw vereisten samen te vatten voordat je op zoek gaat naar docenten. Op de website van Superprof kun je zien welke ervaring ze hebben, wat hun andere studenten over hen zeggen en hoeveel ze per uur in rekening brengen. Voordat je contact opneemt met bijlesdocenten en gratis lessen gaat regelen, raden we je aan om je zoekopdracht te verfijnen tot je bijlesdocenten vindt die aan je eisen voldoen.
Klik hier voor het vinden van bijlessen wiskunde via Superprof. Onze leraren op Superprof helpen je meer dan graag!
Vond je dit artikel leuk? Laat een beoordeling achter!
Laden...
